Aria

Macierze (Java) – spis treści

Wyznacznik macierzy (Java) (2)

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Użyjemy klasy Matrix020

Po uruchomieniu kodu na konsoli zobaczymy:

Geometryczna interpretacja wyznacznika
Geometryczna interpretacja wyznacznika

Załóżmy, że mamy dwa wektory V1=[4,4] i V2= [4,1]. Jeżeli narysujemy je na płaszczyźnie i narysujemy wektor będący sumą tych wektorów to otrzymamy równoległobok, którego dłuższą przekątną jest wektor oznaczony na czerwono będący suma tych dwóch wektorów. Pole równoległoboku to:

S = a*b*sinα

gdzie:

S – pole równoległoboku

a – jest długością pierwszego wektora (I bok równoległoboku),

b – jest długością drugiego wektora (II bok równoległoboku),

α jest kątem między wektorami

W naszym przykładzie S = 12.

detGeometryczna interpretacja wyznacznika= 4⋅1 – 4⋅4 = -12,
|det| = 12

Jak widzimy wyznacznik macierzy jest równy polu równoległoboku rozpiętego na płaszczyźnie na tych wektorach.

Jeżeli obliczymy wektor 2d, który jest iloczynem wektorowym obu podanych wektorów to jego długość będzie równa 12 (Klasa Matrix021):

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Jeżeli obliczymy wektor 3d, który jest iloczynem wektorowym obu podanych wektorów z częścią z = 0, to długość tego wektora będzie wynosiła 12.

Jeżeli macierz będzie miała trzy ‘pełne’ wektory to wyznacznik macierzy 3 x 3 będzie objętością równoległościanu rozpiętego w przestrzeni na tych 3 wektorach.

Jeżeli weźmiemy trzy wektory V1=[a,b], V2=[c,d], V3 =[g,h] i narysujemy je na płaszczyźnie to pole S trójkąta wyznaczonego przez końce tych wektorów wynosi:

S = Geometryczna interpretacja wyznacznika detGeometryczna interpretacja wyznacznika = (ad1 + b1g + 1ch) – (1dg + a1h + bc1) =
= (ad + bg + ch) – (dg + ah + bc)

Jeżeli nasz trójkąt to: V1=[1,-1], V2=[3,4], V3=[-2,5]

detGeometryczna interpretacja wyznacznika = (4 + 2 + 15)-(-8+5-3) = 21 -(-6)=21+6=27;

pole S= Geometryczna interpretacja wyznacznika⋅27 = 13.5

Po uruchomieniu klasy Matrix022 zobaczymy:

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Z geometrii wynika, że boki trójkąta wynoszą:

x = Math.sqrt((a-c)2+(b-d)2) = Math.sqrt((1-3)2+(-1-4)2) = Math.sqrt(4+25) = 5.385,

y = Math.sqrt((c-g)2+(d-h)2) = Math.sqrt((3+2)2+(4-5)2) = Math.sqrt(25+1)=5.099,

z = Math.sqrt((g-a)2+(h-b)2) = Math.sqrt((-2-1)2+(5+1)2)= Math.sqrt(9+36)=6.708,

Połowa obwodu p = (x + y + z)/2 = 5.385+5.099+6.708 = 17.192/2 = 8.596

Geometryczna interpretacja wyznacznika = Geometryczna interpretacja wyznacznika= Geometryczna interpretacja wyznacznika = Geometryczna interpretacja wyznacznika = 13.499

Możemy to też obliczyć używając iloczynu skalarnego:

Obliczamy iloczyny skalarne V1xV2, V2xV3, V3xV1. Obliczamy połowy długości tych wektorów. Dodajemy długości dwóch pierwszych i odejmujemy trzecią. Wynik jest dokładnie 13.5.

Jeżeli obliczenia przeprowadzimy przy użyciu klasy Matrix021 zobaczymy coś takiego:

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Wyznacznik macierzy n × n

Rozwinięcie Laplace’a

Najlepszą metodą wyznaczania wyznacznika jest metoda Laplace’a (rozwinięcie Laplace’a).

Wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia oblicza się z następującego wzoru:

Geometryczna interpretacja wyznacznika

gdzie:

i – jest ustalone i jest wybranym numerem wiersza, względem którego następuje rozwinięcie.

Geometryczna interpretacja wyznacznika – jest elementem macierzy w i-tym wierszu i j-tej kolumnie.

Geometryczna interpretacja wyznacznika – jest dopełnieniem algebraicznym elementu (czyli jest to iloczyn minoru elementu pomnożony przez czynnik Geometryczna interpretacja wyznacznika

Powyższe rozważania są słuszne również dla wybranej kolumny.

Tej metody możemy użyć rekurencyjnie dla macierzy o dowolnej wielkości, za każdym razem sprowadzając macierz do niższego stopnia, aż dojdziemy do macierzy takiego stopnia, dla którego jesteśmy w stanie obliczyć wyznacznik.

Przykład

Mamy macierz:

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Nasze i=2 czyli wybieramy wiersz 2. Gdyby był jakiś wiersz zawierający 0 lepiej byłoby wybrać właśnie ten wiersz, gdyż zmniejsza to liczbę obliczeń. Będziemy mieli do czynienia z trzema elementami:

Geometryczna interpretacja wyznacznika= {4,5,2}

Obliczenia dla a21

Z macierzy wybieramy podmacierz dla elementu a21 czyli podmacierz powstałą przez skreślenie drugiego rzędu i pierwszej kolumny:

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Obliczamy wyznacznik, czyli minor tej podmacierzy:

det=-21

Mnożymy ten wyznacznik przez czynnik dopełniający:

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Mnożymy wynik przez wartość elementu:

a1= 4⋅21=84

Obliczenia dla a22

Z macierzy wybieramy podmacierz dla elementu a22 czyli podmacierz powstałą przez skreślenie drugiego rzędu i drugiej kolumny:

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Obliczamy wyznacznik, czyli minor tej podmacierzy:

det=-18

Mnożymy ten wyznacznik przez czynnik dopełniający:

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Mnożymy wynik przez wartość elementu:

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Obliczenia dla a23

Z macierzy wybieramy podmacierz dla elementu a23 czyli podmacierz powstałą przez skreślenie drugiego rzędu i trzeciej kolumny:

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Obliczamy wyznacznik, czyli minor tej podmacierzy:

det=1

Mnożymy ten wyznacznik przez czynnik dopełniający:

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Mnożymy wynik przez wartość elementu:

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Obliczenia wspólne

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Możemy je przeprowadzić używając klasy Matrix050.

Po uruchomieniu klasy na konsoli zobaczymy wynik:

1.0 1.0 3.0
4.0 5.0 2.0
7.0 8.0 3.0
-8.0

Właściwości wyznacznika

  1. Jeżeli kolumna macierzy lub wiersz macierzy zawierają same 0, to wyznacznik macierzy wynosi 0
  2. Jeżeli zamienimy miejscami dwa wiersze (albo dwie kolumny) to wyznacznik zmieni swój znak ( + na – albo – na +)
  3. Jeżeli dwie kolumny (albo dwa wiersze) macierzy są jednakowe to wyznacznik tej macierzy wynosi 0
  4. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (albo kolumny) zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik
  5. Jeżeli każda z komórek macierzy zawiera wspólny czynnik to czynnik ten po podniesieniu do potęgi równej ilości rzędów (kolumn) można wyłączyć przed wyznacznik Geometryczna interpretacja wyznacznika
  6. Jeżeli do elementów dowolnej kolumny (albo wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny (wiersza) pomnożone przez dowolną liczbę (również 1) to wartość wyznacznika pozostanie nie zmieniona
  7. Wyznaczniki macierzy i jej macierzy transponowanej są jednakowe
  8. Wyznacznik macierzy górnotrójkątnej, dolnotrójkątnej lub diagonalnej jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątne
  9. Wyznacznik macierzy odwrotnej jest równy odwrotności wyznacznika Geometryczna interpretacja wyznacznika
Ad. 1

detGeometryczna interpretacja wyznacznika

Ad. 2

detGeometryczna interpretacja wyznacznika = -8

detGeometryczna interpretacja wyznacznika = 8

Ad. 3

detGeometryczna interpretacja wyznacznika = 0

Ad. 4

detGeometryczna interpretacja wyznacznika = Geometryczna interpretacja wyznacznika

Ad. 5

detGeometryczna interpretacja wyznacznika = Geometryczna interpretacja wyznacznika

Ad. 6

detGeometryczna interpretacja wyznacznika = det

Ad. 7

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Ad. 8

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Ad. 9

Geometryczna interpretacja wyznacznika

Pliki do ściągnięcia

matrices012.zip

Moduł matrices – aktualny stan projektu = 012;