Aria

Macierze (Java) – spis treści

Wyznacznik macierzy (Java) (1)

Wyznaczniki obliczane są dla macierzy kwadratowych. Wyznacznik oznaczany jest jako Wyznacznik macierzy albo |A|.

Inwersja

Mamy skończony ciąg liczb rzeczywistych Wyznaczni macierzy , np. Wyznacznik macierzy

Para liczb Wyznacznik macierzy tworzy inwersję jeśli Wyznacznik macierzy oraz Wyznacznik macierzy. Liczby 5 i 4 w naszym ciągu tworzą inwersję, gdyż Wyznacznik macierzy.

Permutacje bez powtórzeń

Mamy zbiór n-elementowy. Szukamy wszystkich możliwych ustawień n-elementów. Dany element się nie powtarza.

Wzór ogólny to:

Wyznacznik macierzy

Dla trzech elementów mamy 6 możliwych ustawień.

A={a,b,c}

(a,b,c) – 0 inwersji

(a,c,b) – 1 inwersja

(b,a,c) – 1 inwersja

(b,c,a) – 2 inwersje

(c,a,b) – 2 inwersje

(c,b,a)- 3 inwersje

Definicja wyznacznika macierzy

Wyznacznik macierzy jest liczbą przyporządkowaną macierzy w następujący sposób:

Wyznacznik macierzy

gdzie

Wyznacznik macierzy jest permutacją zbioru Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy jest liczbą inwersji w permutacji

Wyznacznik macierzy Wyznacznik macierzy

Mamy 1 element Wyznacznik macierzy

Mamy 1 permutację Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy – 0 inwersji, czyli Wyznacznik macierzy

Dla macierzy Wyznacznik macierzy wyznacznik wynosi

Wyznacznik macierzy, czyli

Wyznacznik macierzy

Czyli wyznacznik macierzy Wyznacznik macierzy jest obliczany następująco:

Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy 2 × 2

Wyznacznik macierzy

Czyli wyznacznik macierzy 2 × 2 jest obliczany następująco:

Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy 3 × 3

Wyznacznik macierzy

Jest to tzw. metoda Sarrusa.

W skrócie:

Wyznacznik macierzy

Np. Wyznacznik macierzy= (0 + 10 – 6) – (0 + 1 -12) = 4 – (-11)= 4 + 11 = 15

Jeśli będziemy mieli do czynienia z macierzą transformacji:

detWyznacznik macierzy= (ad1 + 000 + 0c0) – (0d0 + a00h + bc1) = ad – bc

a w innym przypadku:

detWyznacznik macierzy = (ad1 + bf0 + ec0) – (ed0 + af0 + bc1) = ad1 -bc1 = ad – bc