Zielony Smok

Liczba φ i złoty podział

Liczba φ

Nazywana również liczbą złotego podziału albo złotą liczbą.

Jest rozwiązaniem zadania:

“Podziel odcinek na dwie części tak, aby część większa miała się tak do mniejszej jak całość do większej”.

Rozwiązaniem jest liczba:

Liczba fi

Po obliczeniu:

Liczba fi

A oto pierwsze 1000 liczb rozwinięcia:

1.61803398874989484820458683436563811772030917980576
  28621354486227052604628189024497072072041893911374
  84754088075386891752126633862223536931793180060766
  72635443338908659593958290563832266131992829026788
  06752087668925017116962070322210432162695486262963
  13614438149758701220340805887954454749246185695364
  86444924104432077134494704956584678850987433944221
  25448770664780915884607499887124007652170575179788
  34166256249407589069704000281210427621771117778053
  15317141011704666599146697987317613560067087480710
  13179523689427521948435305678300228785699782977834
  78458782289110976250030269615617002504643382437764
  86102838312683303724292675263116533924731671112115
  88186385133162038400522216579128667529465490681131
  71599343235973494985090409476213222981017261070596
  11645629909816290555208524790352406020172799747175
  34277759277862561943208275051312181562855122248093
  94712341451702237358057727861600868838295230459264
  78780178899219902707769038953219681986151437803149
  97411069260886742962267575605231727775203536139362

Liczba ta ma kilka interesujących właściwości:

Liczba fi

Liczba fi

Liczba φ w geometrii

Złoty podział odcinka

Zloty podział odcinka

a = 116.8
b = 100

Złoty podział

Złoty podział nazywany jest też złotym stosunkiem, boską proporcją, boskim podziałem, złotą proporcją, złotym cięciem.

Złoty prostokąt

Złoty prostokąt to prostokąt o stosunku dłuższego boku (a + b) do krótszego boku a równym φ

Złoty prostokąt

Każdy taki prostokąt można podzielić na kwadrat o boku a oraz złoty prostokąt o dłuższym boku a i krótszym boku b.

Złoty prostokąt

Taki podział można kontynuować w nieskończoność.

Złota spirala

Jeśli powtórzymy wielokrotnie operację odcinania prostokątów, a w każdy kwadrat po odcięciu prostokąta wpiszemy ćwiartkę okręgu – otrzymamy tzw. złotą spiralę.

Złota spirala

Złoty trójkąt

Złoty trójkąt to trójkąt równoramienny, w którym stosunek boku (a + b) do podstawy a jest równy liczbie φ:

Złoty trójkąt

Złoty trójkąt można podzielić na dwa trójkąty, z których jeden ma proporcje boku do podstawy (po dokonaniu obrotu) Złoty trójkąt

Ten podział można kontynuować w nieskończoność.

Ze złotego trójkąta również można otrzymać złotą spiralę.

Pentagram

Pentagram

Pentagram

Liczba φ w architekturze

W wielu opracowaniach pojawiają się informacje dotyczące Partenonu, czy piramid w Gizie

Bryła Partenonu jest zbliżona do złotego prostokąta.

Co do piramid istnieje wiele sprzecznych doniesień. Większość uczonych skłania się do poglądu, że występowanie proporcji związanych z liczbą φ jest dziełem przypadku, gdyż starożytni Egipcjanie nie znali ani liczby φ ani π. Co najwyżej dopatrują się proporcji 3 : 4 : 5

Liczba φ w malarstwie i rzeźbie

Apollo Belwederski

Apollo Belwederski

Źródło obrazka

Odległości względne (z miarki w programie ilustracyjnym) wynoszą:

A = 50, B = 145, C = 60, D = 145, E = 135

Proporcje rzeźby

Jak widzimy proporcja zgadza się jedynie w przybliżeniu.

Warto też prześledzić inne zależności z obrazka.

Z pewnością wielu artystów stosowało złoty podział w swoich dziełach. Szczególnie często omawiany jest przykład Sakrament Ostatniej WieczerzySalvadora Dali.

W wielu dziełach proporcje są inne, ewentualnie zbliżone do liczby φ

Liczba φ w muzyce

W opracowaniach dotyczących tematu często cytuje się poniższą tabelkę, ale niestety nie potrafię się do jej prawidłowości ustosunkować.

Współczynnik Fibonacciego Przybliżona częstotliwość Nuta
1/1 440,00 A
2/1 880,00 A
2/3 293,66 D
2/5 174,62 F
3/2 659,26 E
3/5 261,61 C
3/8 164,82 E
5/2 1108,72 Cis
5/3 740,00 Fis
5/8 277,18 Cis
8/3 1174,64 D
8/5 698,46 F

Wśród utworów zawierających odniesienia do złotego podziału wymienia się utwory:

  • Béli Bartók: Muzyka na smyczki, perkusję i czelestę
  • Erik Satie; Sonneries de la Rose+Croix
  • Debussy: Reflets dans l’eau

Muzykolodzy twierdzą, że dzieła oparte na złotym podziale i ciągu Fibonacciego są na ogół kiepskimi dziełami muzycznymi. Wszystkie takie próby uznaje się za nieudane.

Liczba φ w proporcjach ludzkiego ciała

Dłoń

Liczba fi w anatomii

Liczba fi w anatomii

Źródło obrazka

Jak widzimy proporcje zgadzają się w przybliżeniu.

Podobnych proporcji badacze dopatrują się również w proporcjach ludzkiej ręki.

Liczba φ w przyrodzie

Większość doniesień dotyczących obecności złotych proporcji czy złotych podziałów w organizmach żywych, nie odpowiada prawdzie.

Dokładne pomiary nie potwierdzają istnienia takich proporcji, a co najwyżej proporcji zbliżonych. Oczywiście – odchylenia mogą być warunkowane działaniem przypadku, gdyż (niemal) każdy organizm jest inny.

Zloty podział jest podstawą cyklu fal mózgowych.

Złoty podział jest obecny w skali atomowej w rezonansie magnetycznym spinów w kryształach niobanu kobaltu.

Istnieją sugestie, że złotego podziału można dopatrzeć się w ludzkim genomie, szczególnie w strukturze przestrzennej DNA.

Liczba φ w technice

Złoty podział jest powszechnie stosowany i widoczny np. w kształtach pocztówek, kart do gry, plakatów, szerokoekranowych telewizorów, zdjęć, włączników światła, etc.

Liczba φ w ekonomii

Próbuje się stosować złoty podział i liczby Fibonacciego w analizach ekonomicznych, np. analizie trendów wzrostu i spadku wartości akcji na giełdzie. Dokładniejsze obserwacje pokazują, że istnieją jedynie co najwyżej przybliżone i krótkotrwałe podobieństwa.

Część jest omówiona w artykule o liczbach i ciągu Fibonacciego.

Wątpliwości

Informacje, że obiekty o złotych proporcjach, są uważane za bardziej estetyczne, nie są potwierdzone przez badania naukowe.